Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，PA=PD=AD=2
（1）點M在線段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB；
（2）在（1）的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

分析：（1）當t=

1

3

時，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，連AC交BQ于N，根據線面平行得到PA∥MN，從而

PM

PC

=

AN

AC

=

1

3

，即PM=

1

3

PC，從而求出t的值；
（2）以Q為坐標原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，先求出平面MQB的法向量

n

，取平面ABCD的法向量

QP

=(0，0，

3

)設所求二面角為θ，根據公式cosθ=

| QP • n |

| QP || n |

即可求出二面角M-BQ-C的大小．

解答：解：（1）當t=

1

3

時，PA∥平面MQB
下面證明：若PA∥平面MQB，連AC交BQ于N
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，
∴

AQ

BC

=

AN

NC

=

1

2

…（2分）
PA∥平面MQB，PA?平面PAC，
平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN…（4分）

PM

PC

=

AN

AC

=

1

3

   即：PM=

1

3

PC∴t=

1

3

…（6分）
（2）由PA=PD=AD=2，Q為AD的中點，則PQ⊥AD．．（7分）
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，連BD，
四邊形ABCD為菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD為正三角形，
Q為AD中點，∴AD⊥BQ…（8分）
以Q為坐標原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為
x，y，z軸，建立如圖所示的坐標系，則各點坐標為
A（1，0，0），B（0，

3

，0），Q（0，0，0），P（0，0，

3

）
設平面MQB的法向量為

n

=(x，y，z)，可得

n • QB =0 n • MN =0

而PA∥MN∴

n • QB =0 n • PA =0

，

3 y=0 x- 3 z=0

取z=1，解得

n

=(

3

，0，1)…（10分）
取平面ABCD的法向量

QP

=(0，0，

3

)設所求二面角為θ，
則cosθ=

| QP • n |

| QP || n |

=

1

2

故二面角M-BQ-C的大小為60°…（12分）

點評：本題主要考查了線面平行的判斷，以及利用空間向量的方法度量二面角的平面角，同時考查了空間想象能力，論證推理能力，屬于中檔題．