Question

（2013•石景山區一模）已知函數f(x)=sin(2x+

π

6

)+cos2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知f(A)=

3

2

，a=2，B=

π

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公化簡函數的解析式為

3

sin（2x+

π

3

），令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可求得f（x）的單調遞增區間．
（Ⅱ）由已知f(A)=

3

2

，可得 sin（2A+

π

3

）=

1

2

，求得A=

π

4

，再利用正弦定理求得b的值，由三角形內角和公式求得C的值，再由 S=

1

2

ab•sinC，運算求得結果．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin(2x+

π

6

)+cos2x=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+cos2x
=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x=

3

（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）=

3

sin（2x+

π

3

）．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（Ⅱ）由已知f(A)=

3

2

，可得 sin（2A+

π

3

）=

1

2

，
因為A為△ABC內角，由題意知0＜A＜π，所以

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
因此，2A+

π

3

=

5π

6

，解得A=

π

4

．
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得b=

6

，…（10分）
由A=

π

4

，由B=

π

3

，可得 sinC=

2 + 6

4

，…（12分）
∴S=

1

2

ab•sinC=

1

2

×2×

6

×

2 + 6

4

=

3+ 3

2

．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，正弦函數的單調性，正弦定理以及根據三角函數的值求角，屬于中檔題．