Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且2an=Sn+2n+1(n∈N+)
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求證：數列{a_n+2}是等比數列．

Answer 1

分析：（1）根據2an=Sn+2n+1(n∈N+)，分別取n=1，n=2，n=3可求出a₁，a₂，a₃的值；
（2）根據2an=Sn+2n+1(n∈N+)則當n≥2時，2a_n-1=S_n-1+2（n-1）+1，兩式作差變形可得a_n+2=2（a_n-1+2），然后根據等比數列的定義進行判定即可．

解答：解：（1）令n=1得2a₁=a₁+3解得a₁=3
令n=2得2a₂=S₂+5=a₁+a₂+5解得a₂=8
令n=3得2a₃=S₃+5=a₁+a₂+a₃+7解得a₃=18
（2）∵2an=Sn+2n+1(n∈N+)
∴當n≥2時，2a_n-1=S_n-1+2（n-1）+1
兩式作差得2a_n-2a_n-1=S_n-S_n-1+2=a_n+2（n≥2）
∴a_n=2a_n-1+2則a_n+2=2（a_n-1+2），而a₁+2=5≠0
∴數列{a_n+2}是首項為5，公比為2的等比數列．

點評：本題主要考查了數列的遞推關系，以及等比數列的判定，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．