Question

如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B，P在單位圓上，且B（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=α，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

．四邊形OAQP的面積為S，
（1）求tan（α-

π

4

）；
（2）求

OQ

•

OA

+S的最大值及此時θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角差的正切公式進行計算即可．
（2）利用數量積的定義，結合三角函數的圖象和性質計算即可．

解答：解：（1）∵B（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=α，∴tanα=-

4

3

，
∴tan（α-

π

4

）=

tanα-tan π 4

1+tanα•tan π 4

=

- 4 3 -1

1- 4 3

=7．
（2）由已知A（1，0），P（cosθ，sinθ），
則

OQ

=(1+cos?θ，sin?θ)，

OA

?

OQ

=1+cos?θ，
又∵S=sinθ，
∴

OQ

•

OA

+S=sinθ+cosθ+1=

2

sin(θ+

π

4

)+1，（0＜θ＜π）．
∵0＜θ＜π，∴

π

4

＜θ＜

5π

4

，
∴當θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

4

時，

OQ

•

OA

+S取得最大值1+

2

．

點評：本題主要考查平面向量數量積的應用以及兩角和差的正切公式，以及向量和三角函數的綜合問題，考查學生的運算能力．