Question

【題目】已知在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，且滿足（2c﹣b）tanB=btanA．
（1）求A的大小；
（2）求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由（2c﹣b）tanB=btanA，及正弦定理得：

（2sinC﹣sinB） =sinB ，

∵sinB≠0，

∴（2sinC﹣sinB） = ，

化簡得：2sinCcosA﹣sinBcosA=sinAcosB，由A+B+C=π，

得到：2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，

由sinC≠0，得到cosA= ，

∵A∈（0，π），

∴A=

（2）解：∵ = = +2+ =﹣2cosB+ +2

= sinB﹣2cosB+2= sin（B﹣ ）+2，

∵B∈（0， ），B﹣ ∈（﹣ ， ），

∴sin（B﹣ ）∈（﹣ ， ），

∴ sin（B﹣ ）+2∈（0，4）

【解析】（1）根據正弦定理及同角三角函數間的基本關系化簡已知的等式（2c﹣b）tanB=btanA，由sinB不為0，在等式兩邊都除以sinB后，利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數公式化簡，再由sinC不為0，兩邊都除以sinC，得到cosA的值，然后由A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出角A的度數．（2）由余弦定理，正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡所求可得 sin（B﹣ ）+2，結合B的范圍，利用正弦函數的圖象和性質即可得解．
【考點精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．