Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是A₁B₁和CC₁的中點．
（1）求異面直線BD與B₁C所成的角；
（2）求證：EF∥平面ACB₁．

Answer 1

分析：（1）連接B₁D₁，則DB∥D₁B₁，則∠D₁B₁C為異面直線BD與B₁C所成的角，連接D₁C，在△D₁B₁C中求解角；
（2）取B₁D₁的中點O，連接OE，OF，利用線面平行的判定定理，證明OE、OF分別與平面平行，從而得平面OEF∥平面AB₁C，再由面面平行的性質得線面平行．

解答：解：（1）如圖，連接B₁D₁，則DB∥D₁B₁，
則∠D₁B₁C為異面直線BD與B₁C所成的角，
連接D₁C，在△D₁B₁C中，D₁B₁=B₁C=CD₁，
則∠D₁B₁C=60°，
因此異面直線BD與B₁C所成的角為60°．
（2）取B₁D₁的中點O，連接OE，OF，A₁C₁，
∵O、F分別是B₁C₁，CC₁的中點，∴OF∥B₁C，
又B₁C?平面AB₁C，OF?平面AB₁C，∴OF∥平面AB₁C；
∵E為A₁B₁的中點，∴OE∥A₁C₁，又AC∥A₁C₁，∴OE∥AC，
又AC?平面AB₁C，OE?平面AB₁C，∴OE∥平面AB₁C；
∵OE∩OF=O，∴平面OEF∥平面AB₁C，EF?平面OEF，
∴EF∥平面AB₁C．

點評：本題考查了異面直線所成角的求法，考查了線面平行的判斷，面面平行的判定及面面平行的性質，考查了學生的空間想象能力，邏輯推理能力．