已知函數
在
處存在極值.
(1)求實數
的值；
(2)函數
的圖像上存在兩點A，B使得
是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在
軸上，求實數
的取值范圍；
(3)當
時，討論關于
的方程
的實根個數.
(1) 
.（2）的取值范圍是
.（3）①當
或
時，方程
有兩個實根；②當
時，方程有三個實根；③當
時，方程有四個實根.
解析試題分析：（1）求導得
，將代入解方程組即得.(2) 由（1）得
根據條件知A,B的橫坐標互為相反數，不妨設
.接下來根據
大于等于1和小于1分別求解.(3)由方程
知
，顯然0一定是方程的根，所以僅就
時進行研究，這時方程等價于
，構造函數
，利用導數作出
的圖象即可得方程的要的個數.
試題解析：（1）當
時，. 1分
因為函數
在處存在極值，所以
解得. 4分
(2) 由（I）得
根據條件知A,B的橫坐標互為相反數，不妨設.
若
，則
，
由
是直角得，
，即
，
即
.此時無解； 6分
若
，則
. 由于AB的中點在軸上，且是直角，所以B點不可能在
軸上，即
. 同理有，即
，
.
因為函數
在
上的值域是，
所以實數的取值范圍是. 8分
（3）由方程，知，可知0一定是方程的根， 10分
所以僅就時進行研究：方程等價于
構造函數
對于
部分，函數
的圖像是開口向下的拋物線的一部分，
當
時取得最大值
，其值域是
；
對于
部分，函數
，由
，
知函數在
上單調遞增.
所以，①當或時，方程有兩個實根；
②當時，方程有三個實根；
③當時，方程有四個實根. 14分
考點：1、導數的應用；2、方程的根.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝
x3＋ax2＋bx(a，b∈R)．
(1)當a＝1時，求函數f(x)的單調區間；
(2)若f(1)＝，且函數f(x)在
上不存在極值點，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
（其中
）.
（1）求
的單調區間；
（2）若函數
在區間
上為增函數，求
的取值范圍；
（3）設函數
，當
時，若存在
，對任意的
，總有
成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲線y＝f(x)在點P(1,0)處的切線斜率為2.
(1)求a，b的值；
(2)證明：f(x)≤2x－2.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝
ax2－(2a＋1)x＋2ln x，a∈R.
(1)若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的單調區間．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝axln x圖象上點(e，f(e))處的切線與直線y＝2x平行，g(x)＝x2－tx－2.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)求函數f(x)在[n，n＋2](n>0)上的最小值；
(3)對一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，求實數t的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f（x）=lnx－ax（a>0）．
（I）當a=2時，求f（x）的單調區間與極值；
（Ⅱ）若對于任意的x∈（0，+
），都有f（x）<0，求a的取值范圍．
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，
的單調區間；
有且只有一個解，求實數m的取值范圍；
且
，
時，若有
，求證：
.
.
的單調區間；
，求證：
.