Question

在平行四邊形OABC中，已知過點C的直線與線段OA，OB分別相交于點M，N．若．
（1）求證：x與y的關系為；
（2）設，定義在R上的偶函數F（x），當x∈[0，1]時F（x）=f（x），且函數F（x）圖象關于直線x=1對稱，求證：F（x+2）=F（x），并求x∈[2k，2k+1]（k∈N）時的解析式；
（3）在（2）的條件下，不等式F（x）＜-x+a在x∈[2k，2k+1]（k∈N）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平行四邊形對邊平行且相等以及平行線分線段成比例可得x與y的關系．
（2）F（x）圖象關于直線x=1對稱⇒F（2-x）=F（x）⇒F（x+2）=F（-x）再利用F（x）=F（-x）可得F（x+2）=F（x）．
在把x∈[2k，2k+1]轉化為x-2k∈[0，1]，利用x∈[0，1]時F（x）=f（x）可得x∈[2k，2k+1]（k∈N）時的解析式．
（3）利用轉化的思想把F（x）＜-x+a轉化為對x∈[2k，2k+1]（k∈N）恒成立，再求后面的最大值即可．
解答：解：（1）∵==（2分）
∴，從而．（4分）

（2）當x∈[0，1]時，．
∵F（x）圖象關于直線x=1對稱，
∴F（2-x）=F（x），（5分）
∴F（x+2）=F（-x），又F（x）為偶函數，
∴F（x+2）=F（x）．（7分）
設x∈[2k，2k+1]，則x-2k∈[0，1]，（8分）
∴，即．（10分）

（3）不等式為，（12分）
∴對x∈[2k，2k+1]（k∈N）恒成立，
因此．（14分）
∵在x∈[2k，2k+1]上單調遞增，
∴x=2k+1時其最大值為，
∴，即（k∈N）．（16分）
點評：本題是對向量和函數的奇偶性，單調性，對稱性和恒成立問題的綜合考查，是一道綜合性極強的好題．