Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R且a≠0），F（x）=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

．
（1）若f（-1）=0，且函數f（x）的值域為[0，+∞），求F（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍；
（3）設mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函數，判斷F（m）+F（n）是否大于零？

Answer 1

分析：（1）利用f（-1）=0和函數f（x）的值域為[0，+∞），建立方程關系，即可求出a，b，從而確定F（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，利用g（x）=f（x）-kx的單調區間與對稱軸之間的關系建立不等式進行求解即可．
（3）利用mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函數，得到b=0，然后判斷F（m）+F（n）的取值．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0，①
∵函數f（x）的值域為[0，+∞），
∴a＞0且判別式△=0，即b²-4a=0，②
由①②得a=1，b=2．
∴f（x）=ax²+bx+1=x²+2x+1．
∴F（x）=

x2+2x+1，  x＞0 -x2-2x-1， x＜0

．
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
函數的對稱軸為x=-

2-k

2

=

k-2

2

，
要使函數g（x）=f（x）-kx，在x∈[-2，2]上是單調函數，
則區間[-2，2]必在對稱軸的一側，
即

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-2，
解得k≥6或k≤-2．
即實數k的取值范圍是k≥6或k≤-2．
（3）∵f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x），
即ax²-bx+1=ax²+bx+1，
∴2bx=0，解得b=0．
∴f（x）=ax²+1．
∴F（x）=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

．
∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，
不妨設m＞n，則m＞0，n＜0，
∴F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）=a（m-n）（m+n），
∵m+n＞0，a＞0，m-n＞0，
∴F（m）+F（n）=a（m-n）（m+n）＞0．

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，以及二次函數單調性與對稱軸之間的關系．要求熟練掌握二次函數的相關知識．