Question

在△ABC中，已知3a=2b+c，sin²A=sinBsinC，試判斷△ABC的形狀（　　）

A．直角三角形

B．鈍角三角形

C．等腰三角形

D．等邊三角形

Answer 1

分析：把已知的等式sin²A=sinBsinC利用正弦定理化簡，表示出a，代入3a=2b+c中，兩邊平方后分解因式，得到4b-c=0或b-c=0，當4b-c=0時，表示出c，代入a²=bc中，可得a=2b，進而得到a+b＜c，不能構成三角形，舍去，故b-c=0，可得b=c，代入a²=bc中，可得出a=b=c，進而確定出三角形為等邊三角形．

解答：解：把sin²A=sinBsinC利用正弦定理化簡得：a²=bc，
可得a=

bc

，代入3a=2b+c得：3

bc

=2b+c，
兩邊平方得：9bc=4b²+4bc+c²，即（4b-c）（b-c）=0，
當4b-c=0，即4b=c時，a²=4b²，可得a=2b，
∴a+b=2b+b=3b，c=4b，即a+b＜c，不能構成三角形，舍去，
∴b-c=0，即b=c，
此時a²=bc=c²，即a=b=c，
則△ABC為等邊三角形．
故選D

點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有：正弦定理，三角形的兩邊之和大于第三邊，以及等邊三角形的判定，靈活運用正弦定理是解本題的關鍵．