Question

（2013•蘭州一模）選修4-4：《坐標系與參數方程》
在直接坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數）
（Ⅰ）已知在極坐標（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，

π

2

），判斷點P與直線l的位置關系；
（Ⅱ）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析：（I）先利用點的極坐標和直角坐標的互化公式，把極坐標系下的點（4，

π

2

）化為直角坐標，再在直角坐標系下判斷點P與直線l的位置關系；
（II）根據曲線C的參數方程，設點Q的坐標為（

3

cosα，sinα），再利用點到直線的距離公式求出點Q到直線l的距離，最后利用三角函數的性質即可求得d的最小值．

解答：解：（I）把極坐標系下的點（4，

π

2

）化為直角坐標，得P（0，4）．
因為點P的直角坐標（0，4）滿足直線l的方程x-y+4=0，
所以點P在直線l上．…（5分）
（II）設點Q的坐標為（

3

cosα，sinα），
則點Q到直線l的距離為d=

| 3 cosα-sinα+4|

2

=

2

cos（α+

π

6

）+2

2

由此得，當cos（α+

π

6

）=-1時，d取得最小值，且最小值為

2

．…（10分）

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，參數方程與普通方程的互化，考查點線距離公式的運用，屬于基礎題．