Question

設f(x)=(a＞0,a≠1).

(1)求f(x)的反函數f^-1(x);

(2)討論f^-1(x)在(1,+∞)上的單調性，并加以證明;

(3)令g(x)=1+log_ax,當［m,n］?（1,?+∞）(m＜n)時，f^-1(x)在［m,n］上的值域是?［g(n),g(m)］,求a的取值范圍.

Answer 1

解析：(1)f^-1(x)=log_a(x＞1或x＜-1)

(2)設1＜x₁＜x₂,

∵＜0

當0＜a＜1時，f^-1(x₁)＞f^-1(x₂),

∴f^-1(x)在(1，+∞)上是減函數，

當a＞1時，f^-1(x₁)＜f^-1(x₂),

∴f^-1(x)在(1，+∞)上是增函數.

(3)當0＜a＜1時，

∵f^-1(x)在(1,+∞)上是減函數，

∴

由log_a=1+log_ax

得=ax,即ax²+(a-1)x+1=0可知方程的兩個根均大于1，即

∵f^-1(x)在（1，+∞）上是增函數，

∴a=-1(舍去).

綜上，得0＜a＜3-2.