Question

數列{a_n}與{b_n}的前n項和分別是A_n和B_n，且b_n=n•a_n，2An=Bn+

n

2n+1

 (n∈N)．
（1）求證：數列{a_n}是從第三項起的等比數列；
（2）當數列{a_n}是從第一項起的等比數列時，用n的式子表示B_n；
（3）在（2）的條件下，對于給定的自然數k，當n＞k時，

lim

n→∞

(n-k)an-k

Bn+k-1

=M，且M∈（-1000，-100），試求k的值．

Answer 1

（1）證明：a1=

1

4

，當n≥3時，根據a_n=A_n-A_n-1，na_n=B_n-B_n-1，可得an=(

1

2

)n+1，即{a_n}從第三項起成等比．
（2）若{a_n}從第一項起成等比，那么由a1=

1

4

，q=

1

2

，得a2=

1

8

，an=

1

4

(

1

2

)n-1，An=

1

2

-

1

2n+1

，
故 Bn=1-

n+2

2n+1

．
（3）∵

(n-k)an-k

Bn+k-1

=

(n-k)•22k

-(n+k+2)

，又∵

lim

n→∞

(n-k)an-k

Bn+k-1

=M，∴M=-2^2k，
由已知M∈（-1000，-100），∴2^2k∈（100，1000），∴2k=7，8，9，∵k∈N，故k=4為所求．