Question

（12分）如圖正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD, AB//CD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點。

（I）求證：BM//平面ADEF；

（II）求證：平面平面BEC；

（III）求平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值。

Answer 1

（1）證明：取DE中點N，連結(jié)MN，AN

 

在ΔEDC中，M、N分別為EC, ED的中點，所以MN//CD，且MN=CD.

由已知AB//CD, AB=CD，所以MN//AB, 且MN=AB。

所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM//AN

又因為AN平面ADEF，

且BM平面ADEF，

所以BM//平面ADEF。……（4分）

（2）證明：

在正方形ADEF中，ED⊥AD，

又因為平面ADEF⊥平面ABCD，

且平面ADEF∩平面ABCD=AD，

所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC.

在直角梯形ABCD中，

AB=AD=2, CD=4，可得BC=

在ΔBCD中，BD=BC=，CD=4，

所以BC⊥BD。

所以BC⊥平面BDE，又因為BC平面BCE，

所以平面BDE⊥平面BEC。       ……（9分）

（3）由（2）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD。

以D為原點，DA, DC, DE所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系。

B(2,2,0), C(0,4,0), E(0,0,2)，平面ADEF的一個法向量為m=(0,1,0).

設n=(x,y,z)為平面BEC的一個法向量，因為

所以n=(1,1,2)為平面BEC的一個法向量

設平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為

則

所以平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為余弦值為