Question

光在某處的照度與光源的強度成正比，與光源距離的平方成反比．強度分別為8，1的兩個光源A，B間的距離為6，在線段AB（除去端點）上有一點P，設PA=x．
（1）求x的值，使光源A與光源B在點P產生相等的照度；
（2）若“總照度”等于各照度之和．
①求出點P的“總照度”I（x）的表達式；
②求最小“總照度”與相應的x值．

Answer 1

分析：（1）先根據題意先表示出點P受光源A的照度和受光源B的照度再根據光源A與光源B在點P產生相等的照度建立方程，解之即可求出所求；
（2）①點P的“總照度”I（x）的表達式根據若“總照度”等于各照度之和建立即可；
②利用導數先研究函數的極值，然后根據函數的單調性求出函數的最小值即可．

解答：解：（1）由題意知，點P受光源A的照度為

8k

x2

，受光源B的照度為

k

(6-x)2

，其中k為比例常數；
∵光源A與光源B在點P產生相等的照度，
∴

8k

x2

=

k

(6-x)2

，
由0＜x＜6，得x=2

2

（6-x），
∴x=

48-12 2

7

；
（2）①點P的“總照度”I（x）=

8k

x2

+

k

(6-x)2

（0＜x＜6），
②由I′（x）=-

16k

x3

+

2k

(6-x)3

，且I'（x）=0，解得x=4．
所以，0＜x＜4時，I'（x）＜0，I（x）在（0，4）上單調遞減；
當4＜x＜6時，I（x）＜0，I（x）在（4，6）上單調遞增；
因此，=4時，I（x）取得最小值為

3k

4

．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，同時考查了函數的最值的求解，導數法求函數最值是常用的方法，屬于中檔題．