Question

設函數f（x）=sinxcosx+cos²x+a．
（1）寫出函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（2）當x∈[-，]時，函數f（x）的最大值與最小值的和為，求f（x）的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據兩角和與差的正弦公式將函數f（x）化簡為y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根據T=可求最小正周期，再由正弦函數的單調性確定單調區間．
（2）先根據x的范圍求出2x+的范圍，再由正弦函數的單調性求出最大值和最小值，進而可得a的值，從而確定函數f（x）的解析式，再得到f（x）的圖象與x軸正半軸的第一個交點，最后根據微積分的知識求出面積．
解答：解：（1）f（x）==sin（2x+）+a+
∴T=π
由，得
故函數f（x）的單調遞減區間是[]（k∈Z）
（2）∵-，∴-，∴-
當x∈[-]時，原函數的最大值與最小值的和（1+a+）+（-）=
∴a=0，∴f（x）=sin（2x+）+
f（x）的圖象與x軸正半軸的第一個交點為（，0）
所以f（x）的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積
S==[-]=
點評：本題主要考查兩角和與差的正弦公式和三角函數的基礎知識．三角函數是高考的必考題，要強化訓練．