Question

8．已知等比數列{a_n}是單調遞增的數列，a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_nlog₂a_n，數列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由2（a₃+2）=a₂+a₄，代入a₂+a₃+a₄=28，求得a₃=8，a₂+a₄=20，根據等比數列通項公式，即可求a₁=2，q=2，求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，采用“錯位相減法”即可求得數列{b_n}的前n項和為S_n．

解答 解：設等比數列{a_n}的首項a₁，公比為q，q＞0，
依題意可得：2（a₃+2）=a₂+a₄，代入a₂+a₃+a₄=28，
解得：a₃=8，a₂+a₄=20，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=8}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{q=2}\\{{a}_{1}=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∵數列{a_n}是單調遞增的數列，
∴a₁=2，q=2，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ；
（2）∵b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
=2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹-2，
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查等比數列性質，考查等比數列通項公式，考查“錯位相減法”求數列的前n項和公式，考查計算能力，屬于中檔題．