Question

某地需要修建一條大型輸油管道通過(guò)120公里寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站（又稱泵站）．經(jīng)預(yù)算，修建一個(gè)增壓站的工程費(fèi)用為432萬(wàn)元，鋪設(shè)距離為x公里的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費(fèi)用為x³+x萬(wàn)元．設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬(wàn)元．
（1）試將y表示成關(guān)于x的函數(shù)；
（2）需要修建多少個(gè)增壓站才能使y最小？

Answer 1

分析：（1）設(shè)需要修建k個(gè)增壓站，則（k+1）x=120，由此能夠求出y與x的函數(shù)關(guān)系．
（2）設(shè)f(x)=

51840

x

+120x2-312(0＜x≤120)，則f′(x)=-

51840

x2

+240x=

240

x2

(x3-216)．由f'（x）＞0，得x³＞216，又0＜x≤120，則6＜x≤120．所以f（x）在區(qū)間（6，120]內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間[0，6）內(nèi)為減函數(shù)．由此求出需要修建19個(gè)增壓站才能使y最小．

解答：解：（1）設(shè)需要修建k個(gè)增壓站，則（k+1）x=120，即k=

120

x

-1．
所以y=432k+(k+1)(x3+x)=432×(

120

x

-1)+

120

x

(x3+x)=

51840

x

+120x2-312．
因?yàn)閤表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0＜x≤120．
故y與x的函數(shù)關(guān)系是y=

51840

x

+120x2-312(0＜x≤120)．
（2）設(shè)f(x)=

51840

x

+120x2-312(0＜x≤120)，則f′(x)=-

51840

x2

+240x=

240

x2

(x3-216)．
由f'（x）＞0，得x³＞216，
又0＜x≤120，則6＜x≤120．
所以f（x）在區(qū)間（6，120]內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間[0，6）內(nèi)為減函數(shù)．
所以當(dāng)x=6時(shí)，f（x）取最小值，此時(shí)k=

120

x

-1=

120

6

-1=19．
故需要修建19個(gè)增壓站才能使y最小．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)的靈活運(yùn)用．