Question

【題目】設橢圓，右頂點是，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(不同于點)，若，求證:直線過定點，并求出定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由橢圓右頂點的坐標為A（2，0），離心率，可得a，c的值，由此可得橢圓C的方程；（2）當直線斜率不存在時，設，易得，當直線斜率存在時，直線，與橢圓方程聯立，得，由可得，從而得證.

（1）右頂點是，離心率為，

所以，∴，則，

∴橢圓的標準方程為.

（2）當直線斜率不存在時，設，

與橢圓方程聯立得：，，

設直線與軸交于點，，即，

∴或 (舍），

∴直線過定點；

當直線斜率存在時，設直線斜率為，，則直線，與橢圓方程聯立，得，

，，，

，

，則，

即，

∴，

∴或，

∴直線或，

∴直線過定點或舍去；

綜上知直線過定點.