【題目】定義：過橢圓上的一點（不與長軸的端點重合）與橢圓的兩個焦點確定的三角形稱為橢圓的焦點三角形；已知過橢圓
上一點P（不與長軸的端點重合）的焦點三角形
，且
．
（1）求證：焦點三角形的面積為定值
；
（2）已知橢圓
的一個焦點三角形為，；
①若
，求
點的橫坐標的范圍；
②若
，過點的直線
與
軸交于點
，且
，記
，求
的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）①
或
；②
或
．
【解析】
（1）根據橢圓定義、余弦定理及三角形面積公式推理運算即可；
（2）①先設出
點坐標，根據焦半徑公式表示出
，根據余弦定理用點的橫坐標表示出來，再利用
的范圍求出點的橫坐標范圍；②利用（1）的結論及條件先求出
點坐標，然后在
中利用面積公式求出
即可.
解：（1）證明：設
，由橢圓定義有
，在三角形
中，由余弦定理得：
，
即
，所以
.
（2）①設
，由已知得：
，
.
在三角形中，由焦半徑公式得：
，
由余弦定理得：
，
代入并化簡得：
，故或 .
②由（1）可知
，可得
，或
.
（ⅰ）當時，設，
在三角形中，，
由余弦定理得：
得
.
則
，所以
，所以
，∴
，所以 .
（ⅱ）當時，同理可得
綜上所述，或．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為滿足人民對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改，設企業的污水排放量W與時間t的關系為
，用
的大小評價在
這段時間內企業污水治理能力的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如下圖所示.
給出下列四個結論：
①在
這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；
②在
時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；
③在
時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標；
④甲企業在
這三段時間中，在
的污水治理能力最強．
其中所有正確結論的序號是____________________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在①
，②
，③
這三個條件中選擇兩個，補充在下面問題中，并給出解答.已知數列
的前
項和為
，滿足________，________；又知正項等差數列
滿足
，且
，
，
成等比數列.
（1）求和的通項公式；
（2）證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為
，且各件產品是否為不合格品相互獨立．
（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為
,求的最大值點
．
（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為
的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．
（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為
，求
;
（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
和圓
，傾斜角為45°的直線
過拋物線
的焦點，且與圓
相切．
（1）求
的值；
（2）動點
在拋物線的準線上，動點
在上，若在點處的切線
交
軸于點
，設
．求證點
在定直線上，并求該定直線的方程．
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