Question

如圖，已知點A是橢圓的右頂點，若點在橢圓上，且滿足．（其中O為坐標原點）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓交于兩點M，N，當時，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由點在橢圓上，知，由，知，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，知，利用點差法得到直線，由此能求出△OMN面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵點在橢圓上，
∴，
∵，
∴，解得a=3，∴b=1．
∴橢圓的方程為=1．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵，
∴，
設直線，
由，得：4y²-6ny+3n²-1=0
則，
∴，
點O到直線l的距離d=，
∴S=
=
≤=．
當且僅當3n²=4-3n²，n=±．
∵m∈（0，2），∴m=．
∴當m=時，△OMN面積的最大值為．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意點差法和等價轉化思想的合理運用．