Question

已知冪函數y=xm2-2m-3(x∈N)的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數，則滿足(a+1)-

m

3

＜(3-2a)-

m

3

的a的范圍是

（-∞，-1）∪（

2

3

，

3

2

）

．

Answer 1

分析：（1）冪函數y=x^α的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數．則必須滿足α為偶數且α＜0，由此可得m的值．
（2）根據冪函數y=x^α的單調性，可得a+1＞3-2a＞0，或0＞a+1＞3-2a，或a+1＜0＜3-2a，先求得每個不等式的解集，再取并集．即得所求．

解答：解：∵冪函數y=xm2-2m-3(x∈N)的圖象關于y軸對稱，故此函數為偶函數，故有m²-2m-3為偶數，
∵函數在（0，+∞）上遞減，∴m²-2m-3＜0，即-1＜m＜3，又m∈N*，∴m=1．
∵(a+1)-

m

3

＜(3-2a)-

m

3

，且函數y=x-

1

3

 在（-∞，0），（0，+∞）上都是減函數，
故有 a+1＞3-2a＞0，或0＞a+1＞3-2a，或a+1＜0＜3-2a，
解得a＜-1，或

2

3

＜a＜

3

2

，
故答案為 （-∞，-1）∪（

2

3

，

3

2

）．

點評：冪函數y=x^α，α＜0時則為減函數；α＞0時，冪函數為增函數．要注意α的不同，其定義域是不同的，解不等式時要注意，屬于基礎題．