Question

11．定長(zhǎng)為l（$l＞\frac{{2{b^2}}}{a}$）的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)都在雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右支上，則AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為（　　）

• A． $\frac{a（2a+l）}{{2\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$
• B． $\frac{a+l}{{2\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$
• C． $\frac{a（l-2a）}{{2\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$
• D． $\frac{al}{{2\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$

Answer 1

分析 用A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出|FA|和|FB|，解出A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用|FA|+|FB|≥|AB|，求得m的最小值．

解答 解：設(shè)AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，右焦點(diǎn)為F，離心率為e，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，
則m=$\frac{1}{2}$（x_A+x_B），
|FA|=e（x_A-$\frac{{a}^{2}}{c}$），|FB|=e（x_B-$\frac{{a}^{2}}{c}$），
∴m=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{e}$（|FA|+|FB|）+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥$\frac{1}{2e}$|AB|+$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{1}{2e}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{la}{2c}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$
=$\frac{a（2a+l）}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)F、A、B共線時(shí)，m取得最小值．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，注意運(yùn)用雙曲線的第二定義，屬于中檔題．