Question

【題目】已知橢圓的一個頂點為A（0，﹣1），焦點在x軸上．若右焦點到直線x﹣y+2 =0的距離為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點M、N．當|AM|=|AN|時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意可設橢圓方程為 ，

則右焦點F（ ）由題設

解得a2=3故所求橢圓的方程為 ；

（2）解：設P為弦MN的中點，由

得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0

由于直線與橢圓有兩個交點，∴△＞0，即m2＜3k2+1①

∴ 從而

∴ 又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，

則 即2m=3k2+1②

把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得 解得 ．

故所求m的取范圍是（ ）．

【解析】（1）依題意可設橢圓方程為 ，由題設 解得a2=3，故所求橢圓的方程為 ．（2）設P為弦MN的中點，由 得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直線與橢圓有兩個交點，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推導出m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．