Question

(17)已知6sin²α+sinαcosα－2cos²α=0，α∈［,π］，求sin(2α+)的值.

Answer 1

(17)本小題考查三角函數的基本公式以及三角函數式的恒等變形等基礎知識和基本運算技能.

解法一:由已知得(3sinα+2cosα)(2sinα－cosα)=0

3sinα+2cosα=0或2sinα－cosα=0.

由已知條件可知

cosα≠0，所以α≠，即α∈(,π).

于是tanα＜0,∴tanα=－.

sin(2α+)=sin2αcos+cos2αsin

=sinαcosα+(cos²α－sin²α)

=+×

=+×.

將tanα=代入上式得

sin(2α+)=+×

=－+，即為所求.

解法二:由已知條件可知cosα≠0,則α≠，所以原式可化為6tan²α+tanα－2=0,

即(3tanα+2)(2tanα－1)=0.

又∵α∈(,π),∴tanα＜0.

∴tanα=－.

下同解法一.