Question

已知函數f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的圖象關于原點成中心對稱，試判斷f（x）在區間[-4，4]上的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

f（x）在[-4，4]上是單調遞減函數．
證明如下：函數f（x）的圖象關于原點成中心對稱，
則f（x）是奇函數，即f（-x）=-f（x）對于任意x的成立，
則有a（-x）³+（a-1）（-x）²+48（a-2）（-x）x+b=-[ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b]
必有a-1=0，b=0，
即a=1，b=0，
于是f（x）=x³-48x．
∴f′

x

=3x2-48，
∴當x∈(-4，4)∴f′

x

＜0，
所以f（x）在[-4，4]上是單調遞減函數．