Question

容器A內裝有6升質量分數為20%的鹽水溶液，容器B內裝有4升質量分數為5%的鹽水溶液，先將A內的鹽水倒1升進入B內，再將B內的鹽水倒1升進入A內，稱為一次操作；這樣反復操作n次，A、B容器內的鹽水的質量分數分別為a_n，b_n，
（ I）問至少操作多少次，A、B兩容器內的鹽水濃度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771）
（Ⅱ）求a_n、b_n的表達式，并求

lim

n→∞

an與

lim

n→∞

bn的值．

Answer 1

分析：（ I）先根據條件求出b1=

1

5

(

1

5

+4×

1

20

)=

2

25

，a1=

1

6

(

2

25

+5×

1

5

)=

9

50

以及bn+1=

an+4bn

5

，an+1=

1

6

(5an+bn+1)=

26an+4bn

30

；進而得到兩種容器內的鹽水濃度的差b_n-a_n的規律，再結合鹽水濃度之差小于1%，借助于對數的性質解不等式即可求出答案．
（Ⅱ）先根據bn+1=

1

5

[bn+

1

10

×(

2

3

)n-1+4bn]得到bn+1-bn=

3

100

×(

2

3

)n進而求出b_n的通項以及a_n的表達式，進而得到

lim

n→∞

an與

lim

n→∞

bn的值．

解答：解：（ I）∵b1=

1

5

(

1

5

+4×

1

20

)=

2

25

，a1=

1

6

(

2

25

+5×

1

5

)=

9

50

；
bn+1=

an+4bn

5

，an+1=

1

6

(5an+bn+1)=

26an+4bn

30

；
∴an+1-bn+1=

2

3

(an-bn)，
∴{an-bn}是q=

2

3

的等比數列，
∴an-bn=

1

10

×(

2

3

)n-1＜

1

100

，
∴n-1＞log

2

3

1

10

=

1

lg3-lg2

≈5.7，
∴n≥7，故至少操作7次；
（Ⅱ）∵bn+1=

1

5

[bn+

1

10

×(

2

3

)n-1+4bn]，
∴bn+1-bn=

3

100

×(

2

3

)n
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=

2

25

+

3

100

×[

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-1]=-

3

100

×(

2

3

)n+

7

50

，
而an=bn+

1

10

×(

2

3

)n-1=

3

50

×(

2

3

)n+

7

50

；
∴

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

bn=

7

50

．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．解決本題第一問的關鍵在于根據題意找到兩種容器內的鹽水濃度的差b_n-a_n的規律．