Question

一個棱柱的三視圖（正視圖長為a，寬為

2

的矩形，俯視圖是長為2，寬為1的矩形，側視圖是直角邊長分別為1和

2

的直角三角形）和直觀圖如圖所示，其中G是棱DF的中點．M是棱AB的中點．
（1）求證：AG∥平面FMC；
（2）求三棱錐F-MCE的體積；
（3）求證：平面CMF⊥平面FDM．

Answer 1

分析：（1）取FC的中點H，連接GH，HM，由已知中G為DF的中點，由三角形中位線定理，我們易得到四邊形AMHG為平行四邊形，AG∥MH，我們易根據線面平行的判定定理得到AG∥平面FMC；
（2）由三視圖與直觀圖的條件，AD⊥平面DCEF，由已知中EF=2，CE=

2

，AD=1，求出棱棱的底面面積和棱錐的高，代入棱錐體積公式，即可得到答案．
（3）由三視圖與直觀圖的條件，知FD⊥平面ABCD，AD⊥DC，又由AB=CD=EF=2，FD=

2

，AD=1，由勾股定理易判斷CM⊥DM，又由CM⊥FD，結合線面垂直的判定定理，易判斷出CM⊥平面FDM，再由面面垂直判定定理，易判斷出平面CMF⊥平面FDM．

解答：解：（1）證明：取FC的中點H，連接GH，HM

∵G為DF的中點，
∴GH為△FDC的中位線，
∴GH∥CD，且GH=

1

2

DC
∵四邊形ABCD為矩形，且M是AB的中點，
∴AM∥DC，且AM=

1

2

DC
從而AM∥GH，且AM=GH
∴四邊形AMHG為平行四邊形
∴AG∥MH
又∵MH?平面FMC，AG?平面FMC，
∴AG∥平面FMC，
（2）由三視圖與直觀圖的條件，AD⊥平面DCEF，EF=2，CE=

2

，AD=1
∴V_F-MCE=V_M-FCE=

1

3

•S△FCE•AD=

1

3

×(

1

2

×2×

2

)×1=

2

3

（3）由三視圖與直觀圖的條件，知FD⊥平面ABCD，AD⊥DC
又由AB=CD=EF=2，FD=

2

，AD=1，
在Rt△DAM中，∵AD=AM=1
∴DM=

2

，同理MC=

2

∴DM²+MC²=4=CD²
∴△DMC為直角三角形，CM⊥DM
∵FD⊥平面ABCD，CM?平面ABCD，
∴CM⊥FD，又∵FD∩DM=D
∴CM⊥平面FDM，又CM?平面FDM，
∴平面CMF⊥平面FDM．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，由三視圖還原實物圖，棱錐的體積，直線與平面的判定，熟練掌握三視圖與直觀圖的關系，由已知中三視圖判斷出幾何體的形狀，及相關幾何量的值，是解答本題的關鍵．