Question

把“楊輝三角形”向左對齊如圖所示，分別按圖中虛線，由右上至左下把劃到的數相加，其和寫在虛線左下端點（左邊豎線的左側）處，把這些和由上至下排列得一個數列{a_n}．
（1）觀察數列{a_n}，寫出一個你能發現的遞推公式（不必證明）；
（2）設（a_n+2-Aa_n+1）=B（a_n+1-Aa_n），求A，B的值，并求a_n．

Answer 1

分析：（1）利用題設條件，先分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，從中尋找規律，能夠發現遞推公式．
（2）利用多項式恒等解方程組，能夠求出A，B的值，并能求出a_n．

解答：解：（1）a1=

C

0 0

=1，a2

=C

0 1

=1，
a3=

C

0 2

+C

1 1

=2=a₁+a₂，
a₄=

C

0 3

+

C

1 2

=3=a₂+a₃，
a₅=

C

0 4

+

C

1 3

+

C

2 2

=5=a₃+a₄，
…
∴a_n+2=a_n+a_n+1，（n∈N^*）．
故a₁=a₂，a_n+2=a_n+a_n+1，（n∈N^*）．
（2）∵（a_n+2-Aa_n+1）=B（a_n+1-Aa_n），
a_n+2=a_n+a_n+1，
∴按照多項式恒等定理，有 A+B=1，AB=-1，
因此A，B是一元二次方程x²-x-1=0的兩根，
解得A=

1- 5

2

，B=

1+ 5

2

，或A=

1+ 5

2

，B=

1- 5

2

．
∴a_n=

1

5

[（

1+ 5

2

）ⁿ-（

1- 5

2

）ⁿ]，n∈N^*．

點評：本題考查數列的遞推公式的求法，解題時要認真審題，仔細觀察，注意多項式恒等定理的靈活運用．