Question

n²（n≥4）個正數排成n行n列：
a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄…a_1n
a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄…a_2n
a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄…a_3n
…
a_n1 a_n2 a_n3 a_n4…a_nn
其中每一行的數由左至右成等差數列，每一列的數由上至下成等比數列，并且所有公比相等，已知a₂₄=1，a₄₂=

1

8

，a₄₃=

3

16

，則a₁₁+a₂₂+…+a_nn=

2-（n+2）•

1

2n

．

Answer 1

分析：設第一行數的公差，第一列數的公比；求出表中通項a_st，據通項公式將a₂₄，a₄₂，a₄₃用首項，公差、公比表示，列出方程組求出首項、公差、公比；由題意求出a_kk，據a_kk的特點，利用錯位相減法求出對應式子的和．

解答：解：設第一行數的公差為d，第一列數的公比為q，
可得a_st=[a₁₁+（t-1）d]q^s-1
又設第一行數列公差為d，各列數列的公比為q，
則第四行數列公差是dq³，
則

a24=(a11+3d)q=1 a42=(a11+d)q3= 1 8 a43=a42+dq3= 3 16

，
解此方程組，得a₁₁=d=q=±

1

2

，
∵n²（n≥4）個正數排成n行n列，
∴a₁₁=d=q=

1

2

，
則對任意的1≤k≤n，
akk=akqk-1=[a₁₁+（k-1）d]q^k-1=

k

2k

，
設s=a₁₁+a₂₂+…+a_nn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

   ①

1

2

s=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

              ②
①-②得，

1

2

s=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴s=2（1-

1

2n

-

n

2n+1

）=2-（n+2）•

1

2n

故答案為：2-（n+2）•

1

2n

．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合應用，以及由條件求數列的通項公式，考查數列求和的常用方法：錯位相減法，考查分析問題解決問題的能力，難度較大．