Question

已知定義在[1，4]上的函數f（x）=x²-2bx+（b≥1），
（ I）求f（x）的最小值g（b）；
（ II）求g（b）的最大值M．

Answer 1

解：f（x）=（x-b）²-b²+的對稱軸為直線x=b（b≥1），
（ I）①當1≤b≤4時，g（b）=f（b）=-b²+；
②當b＞4時，g（b）=f（4）=16-，
綜上所述，f（x）的最小值g（b）=．
（ II）①當1≤b≤4時，g（b）=-b²+=-（b-）²+，
∴當b=1時，M=g（1）=-；
②當b＞4時，g（b）=16-是減函數，∴g（b）＜16-×4=-15＜-，
綜上所述，g（b）的最大值M=-．
分析：（I）由已知中函數的解析式，可得f（x）=（x-b）²-b²+的對稱軸為直線x=b（b≥1），分當1≤b≤4時，和b＞4時，兩種情況，分析函數在區間[1，4]上的單調性，可得f（x）的最小值g（b）；
（ II）結合（I）中所得g（b）的解析式，根據分段函數分段處理的原則，分別求出各段上函數的最大值，比照后可得g（b）的最大值M．
點評：本題考查的知識點是二次函數在閉區間上的最值，函數單調性的性質，其中熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答本題的關鍵．