Question

【題目】已知拋物線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)H(1，t)到焦點(diǎn)F的距離為2．

(1)若，過(guò)點(diǎn)M，H的直線與該拋物線相交于另一點(diǎn)N，求的值；

(2)設(shè)A、B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))．

①求證：直線AB必過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

②過(guò)點(diǎn)Q作AB的垂線與該拋物線交于G、D兩點(diǎn)，求四邊形AGBD面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①見(jiàn)證明； ②最小值88

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的定義，求得的值，進(jìn)而求得拋物線的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義求得的值.（2）①設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡(jiǎn)，由此證得直線過(guò)定點(diǎn). ②利用①的結(jié)論求得,由此求得四邊形面積的表達(dá)式，換元后利用二次函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求得四邊形面積的最小值.

解：（1）∵點(diǎn)，∴，解得，

故拋物線E的方程為：，

所以當(dāng)時(shí)，

∴直線的方程為，聯(lián)立可得，，

.

（2）①證明：設(shè)直線，，

聯(lián)立拋物線方程可得，

，

由得：，解得或（舍去），

即，所以直線過(guò)定點(diǎn)；

②由①得

同理得，.

則四邊形面積

.

令，則是關(guān)于的增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值88.