Question

已知f(x)=loga(x+

x2+1

)，其中a＞1．則f（x）的反函數f^-1（x）=

 

．

Answer 1

分析：利用f（-x）+f（x）=0可證f（x）=loga(x+

x2+1

)為奇函數，從而可求f（x）的反函數f^-1（x）．

解答：解：∵f（x）=loga(x+

x2+1

)，
∴f（-x）=loga(

x2+1

-x)，
∴f（-x）+f（x）=log_a1=0，
∴y=f（x）=loga(x+

x2+1

)為奇函數，
∴x+

x2+1

=a^y，
-x+

(-x)2+1

=a^-y，
∴x=

1

2

（a^y-a^-y），
∴f^-1（x）=

1

2

（a^x-a^-x），x∈R．
故答案為：

1

2

（a^x-a^-x），x∈R．

點評：本題考查反函數，考查函數的奇偶性的應用，求得x=

1

2

（a^y-a^-y）是關鍵，也是難點，屬于中檔題．