Question

已知橢圓=1（a＞b＞0）的離心率e=，l為過點A（-2，0）和上頂點B₂的直線，下頂點B₁與l的距離為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的動弦CD交l于M，若M為線段CD的中點，線段CD的中垂線和x軸交點為N（n，0），試求n的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由離心率，建立關于a，c的方程，下頂點B₁與l的距離為建立關于b方程，再結合a²=b²+c²，求出a，b．
（Ⅱ）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），M（x，y），將點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），的坐標代入橢圓的方程，用作差的方法得到直線CD的斜率用中點M（x，y）的坐標表示的表達式，則可求出其中垂線用M的坐標表示的方程，因其中垂線與x軸交于點N，故令y=0，解出點N的縱坐標與M（x，y）的坐標關系，M的坐標的范圍易求，則可求得點N的縱坐標n的取值范圍．
解答：解：（I）直線l的方程為，
即bx-2y=-2b，又B₁（0，-b），
∴，解得b=1，
又，得a²=1． ①
所以，橢圓方程為．（4分）
（Ⅱ）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），M（x，y），
由題意直線CD的斜率存在，設為k，
則
②-①得
∴（7分）
∴線段CD的中垂線方程為：
令y=0，則．（9分）
又聯立l與橢圓方程，有7x²+12x=0，
得，
即有，（11分）
∴（12分）
點評：本題在考查求橢圓方程的基礎上，考查了求動點坐標范圍的問題，解決這類問題的關鍵是把要求的量與已知的量建立起確定的聯系，本題充分利用M是C，D的中點這一關系，設出C，D兩點的坐標，用點差法得到了直線CD斜率用中點的坐標表示式，此為在知道直線與圓的兩個交點的中點時研究問題時常的思路，然后再根據中垂線的幾何特征得到中垂線的方程，求出其與x軸交點的坐標，達到了用M的坐標來表示N點的坐標的目的．此題對觀察轉化能力要求較高，需要學生有良好的探究分析的數學素養，是個難度較高的題．