Question

設數列{a_n}、{b_n}（b_n＞0，n∈N^*），滿足a_n=（n∈N^*），證明：{a_n}為等差數列的充要條件是{b_n}為等比數列．

Answer 1

【答案】分析：先證充分性：即若{b_n}為等比數列，證出{a_n}為等差數列．再證必要性：即若{a_n}為等差數列，則{b_n}為等比數列．
解答：證明：充分性：若{b_n}為等比數列，設公比為q，則a_n===lgb₁+（n-1）lgq，a_n+1-a_n=lgq為常數，
∴{a_n}為等差數列．
必要性：由a_n=得na_n=lgb₁+lgb₂++lgb_n，（n+1）a_n+1=lgb₁+lgb₂++lgb_n+1，
∴n（a_n+1-a_n）+a_n+1=lgb_n+1．
若{a_n}為等差數列，設公差為d，
則nd+a₁+nd=lgb_n+1，
∴b_n+1=10，b_n=10．
∴=10^2d為常數．
∴{b_n}為等比數列．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時注意公式的靈活運用．