Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)，證明： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)得， 分， ， ，三種情況討論可得單調(diào)區(qū)間.

（Ⅱ）由（1）及可知：僅當(dāng)極大值等于零，即且

所以，且，消去得，構(gòu)造函數(shù)，證明單調(diào)且零點(diǎn)存在且唯一即可.

試題解析：（Ⅰ） ， ，

令， ，

若，即，則，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

若，即，則，僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.

若，即，則有兩個(gè)零點(diǎn)， ，

由， 得，

當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞增.

綜上所述，

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）由（1）及可知：僅當(dāng)極大值等于零，即時(shí)，符合要求.

此時(shí)， 就是函數(shù)在區(qū)間的唯一零點(diǎn).

所以，從而有，

又因?yàn)?/span>，所以，

令，則，

設(shè)，則，

再由（1）知： ， ， 單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>， ，

所以，即

點(diǎn)晴：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理. 恒成立問(wèn)題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題的問(wèn)題，往往可利用參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理．也可構(gòu)造新函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解.注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.