Question

在一次口試中，要從10道題中隨機抽出6道題進行回答，至少答對了其中的5道就獲得優秀，答對其中的4道就獲得及格．若某考生能夠答對10道題中的6道題．
（Ⅰ）求他獲得優秀的概率；
（Ⅱ）求他獲得“及格和及格以上”的概率；
（Ⅲ）設X為該生答對題目的個數，求X的分布列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）所有的抽法共有

C

6 10

種，他獲得優秀的抽法有

C

6 6

+

C

5 6

•

C

1 4

種，由此求得他獲得優秀的概率．
（Ⅱ）所有的抽法共有

C

6 10

種，他獲得“及格和及格以上”的抽法有

C

6 6

+

C

5 6

•

C

1 4

+

C

4 6

•

C

2 4

種，由此求得他獲得“及格和及格以上”的概率．
（Ⅲ）設X為該生答對題目的個數，則X=2，3，4，5，6，再求出X取每個值的概率，即可求得X的分布列．

解答：解：（Ⅰ）所有的抽法共有

C

6 10

=210 種，他獲得優秀的抽法有

C

6 6

+

C

5 6

•

C

1 4

=25種，
故他獲得優秀的概率為

25

210

=

5

42

．
（Ⅱ）他獲得“及格和及格以上”的抽法有

C

6 6

+

C

5 6

•

C

1 4

+

C

4 6

•

C

2 4

=115種，
他獲得“及格和及格以上”的概率為

115

210

=

23

42

．
（Ⅲ）設X為該生答對題目的個數，則X=2，3，4，5，6，
且P（X=2）=

C 2 6 •C 4 4

210

=

1

14

，P（X=3）=

C 3 6 •C 3 4

210

=

8

21

，P（X=4）=

C 4 6 •C 2 4

210

=

3

7

，P（X=5）=

C 5 6 •C 1 4

210

=

4

35

，P（X=6）=

1

210

，
求X的分布列為

X	2	3	4	5	6
P	1 14	8 21	3 7	4 35	1 210

點評：本題主要考查古典概型及其概率計算公式的應用，離散型隨機變量的分布列，屬于中檔題．