Question

現有一組互不相同的從小到大排列的數據：a，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a=0．為提取反映數據間差異程度的某種指標，今對其進行如下加工：記，作函數y=f（x），使其圖象為逐點依次連接點P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，…，5）的折線．
（I）求f（0）和f（1）的值；
（II）設P_n-1P_n的斜率為k_n（n=1，2，3，4，5），判斷k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小關系；
（III）證明：當x∈（0，1）時，f（x）＜x．

Answer 1

【答案】分析：（I）直接根據定義即可得到f（0）和f（1）的值；
（II）先根據兩點式寫出直線的斜率，再根據a，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，是按從小到大的順序排列即可得到結論；
（III）由于f（x）的圖象是連接各點P_n（x_n，y_n）（n=0，1，…，5）的折線，把問題轉化為證明f（x_n）＜x_n（n=1，2，3，4）；再對f（x）的表達式進行放縮即可得到結論．
解答：解：（I）解：f（0）==0，
f（1）==1．
（II）解：k_n=，n=1，2，…，5，
因為a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
所以k₁＜k₂＜k₃＜k₄＜k₅．
（III）證明：由于f（x）的圖象是連接各點P_n（x_n，y_n）（n=0，1，…，5）的折線，
要證明f（x）＜x（0＜x＜1），只需證明f（x_n）＜x_n（n=1，2，3，4）．
事實上，當x∈（x_n-1，x_n）時，
f（x）=（x-x_n-1）+f（x_n-1）
=f（x_n-1）+f（x_n）
＜+=x．
下面證明f（x_n）＜x_n．
對任何n（n=1，2，3，4），
5（a₁+…+a_n）=[n+（5-n）]（a₁+…+a_n）
=n（a₁+…+a_n）+（5-n）（a₁+…+a_n）
≤n（a₁+…+a_n）+（5-n）na_n=n[a₁+…+a_n+（5-n）a_n]
＜n（a₁+…+a_n+a_n+1+…+a₅）=nT．
所以f（x_n）=＜=x_n．
點評：本題主要考查函數知識、斜率公式、分析問題解決問題的能力，結合已知采用分析法將所求問題轉化到能夠解決的范圍內．