Question

已知數列{a_n}滿足a₁=0，a₂=2，且對任意m、n∈N^*都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2（m-n）²
（1）求a₃，a₅；
（2）設b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N^*），證明：{b_n}是等差數列；
（3）設c_n=（a_n+1-a_n）q^n-1（q≠0，n∈N^*），求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求a₃，a₅只需令m=2，n=1賦值即可．
（2）以n+2代替m，然后利用配湊得到b_n+1-b_n，和等差數列的定義即可證明．
（3）由（1）（2）兩問的結果可以求得c_n，利用乘公比錯位相減求{c_n}的前n項和S_n．
解答：解：（1）由題意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6
再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20
（2）當n∈N^*時，由已知（以n+2代替m）可得
a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8
于是[a_2（n+1）+1-a_2（n+1）-1]-（a_2n+1-a_2n-1）=8
即b_n+1-b_n=8
所以{b_n}是公差為8的等差數列
（3）由（1）（2）解答可知{b_n}是首項為b₁=a₃-a₁=6，公差為8的等差數列
則b_n=8n-2，即a_2n+1-a_2n-1=8n-2
另由已知（令m=1）可得
a_n=-（n-1）²．
那么a_n+1-a_n=-2n+1
=-2n+1=2n
于是c_n=2nq^n-1．
當q=1時，S_n=2+4+6++2n=n（n+1）
當q≠1時，S_n=2•q+4•q¹+6•q²+…+2n•q^n-1．
兩邊同乘以q，可得
qS_n=2•q¹+4•q²+6•q³+…+2n•qⁿ．
上述兩式相減得
（1-q）S_n=2（1+q+q²+…+q^n-1）-2nqⁿ
=2•-2nqⁿ
=2•
所以S_n=2•
綜上所述，S_n=．
點評：本小題是中檔題，主要考查數列的基礎知識和化歸、分類整合等數學思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．同時考查了等差，等比數列的定義，通項公式，和數列求和的方法．