Question

已知三角形的三條邊長構成等比數列，他們的公比為q，則q的取值范圍是

（

-1+ 5

2

，

1+ 5

2

）

．

Answer 1

分析：設三邊：a、aq、aq²、q＞0，則由三邊關系：兩短邊和大于第三邊，分q≥1和q＜1兩種情況分別求得q的范圍，最后綜合可得答案．

解答：解：設三邊：a、aq、aq²、q＞0，則由三邊關系：兩短邊和大于第三邊可得
（1）當q≥1時，aq²為最大邊，a+aq＞aq²，等價于：q²-q-1＜0，由于方程q²-q-1=0兩根為：

1- 5

2

和

1+ 5

2

，
故得解：

1- 5

2

＜q＜

1+ 5

2

∵q≥1，
∴1≤q＜

1+ 5

2

（2）當0＜q＜1時，a為最大邊，aq+aq²＞a，即得q²+q-1＞0，解之得q＞

-1+ 5

2

或q＜-

1+ 5

2

∵0＜q＜1
∴1＞q＞

-1+ 5

2

綜合（1）（2），得：q∈（

-1+ 5

2

，

1+ 5

2

）
故答案為：（

-1+ 5

2

，

1+ 5

2

）

點評：本題以三角形為載體，考查等比數列，考查解不等式，同時考查了分類討論的數學思想．