Question

設f（x）=2x²-lnx在區間（k-1，k+1）上不是單調函數，其中（k-1，k+1）是f（x）定義域區間的一個子區間，則k的取值范圍是

[1，

3

2

)

．

Answer 1

分析：先求導函數，再進行分類討論，同時將函數f（x）=2x²-lnx在其定義域的一個子區間（k-1，k+1）內不是單調函數，轉化為f′（x）在其定義域的一個子區間（k-1，k+1）內有正也有負，從而可求實數k的取值范圍．

解答：解：求導函數，f′（x）=4x-

1

x

①當k=1時，（k-1，k+1）為（0，2），函數在（0，

1

2

）上單調減，在（

1

2

，2）上單調增，滿足題意；
②當k≠1時，∵函數f（x）=2x²-lnx在其定義域的一個子區間（k-1，k+1）內不是單調函數
∴f′（x）在其定義域的一個子區間（k-1，k+1）內有正也有負
∴f′（k-1）f′（k+1）＜0
∴（4k-4-

1

k-1

）（4k+4-

1

k+1

）＜0
∴

4k2-8k+3

k-1

×

4k2+8k+3

k+1

＜0
∴

(2k-3)(2k-1)(2k+3)(2k+1)

(k-1)(k+1)

＜0
∵k-1＞0
∴k+1＞0，2k+1＞0，2k+3＞0，
∴（2k-3）（2k-1）＞＜0，解得1＜k＜

3

2

綜上知k的取值范圍是[1，

3

2

)，
故答案為：[1，

3

2

)．

點評：本題以函數為載體，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，分類討論，等價轉化是關鍵．