Question

函數f（x）=2^x和g（x）=x³的部分圖象的示意圖如圖所示．設兩函數的圖象
交于點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（1）請指出示意圖中曲線C₁、C₂分別對應哪一個函數？
（2）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，指出a、b的值，并說明理由；
（3）結合函數圖象示意圖，請把f（6）、g（6）、f（2009）、g（2009）四個數按從小到大的順序排列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由冪函數和指數函數的增長的特點知，當自變量取值足夠大時，2^x 遠大于 x³ ，故g（x）=x³ ，f（x）=2^x ．
（2）由h（1）•h（2）＜0，得x₁∈[1，2]，由h（9）•h（10）＜0，可得x₂∈[9，10]．
（3）由兩個函數的圖象及兩個函數的增長速度的快慢可得，當自變量取值足夠大時，2^x 遠大于 x³ ．
解答：解：（1）圖象C₁對應的函數：g（x）=x³ ； 圖象 C₂對應的函數：f（x）=2^x ．
（2）記h（x）=f（x）-g（x），由h（1）=1，h（2）=-4，
由h（1）•h（2）＜0，
得x₁∈[1，2]，∴a=1．
同理：h（9）=-217，h（10）=24，h（9）•h（10）＜0，
可得x₂∈[9，10]，∴b=9．
（3）由兩個函數的圖象及兩個函數的增長速度的快慢可得，f（6）＜g（6）＜g（2007）＜f（2007）．
點評：本題考查指數函數和冪函數的增長差異，體現了數形結合的數學思想．