Question

已知函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函數．
（1）求實數k的值；
（2）若a＞1，判斷函數的單調性（不需要證明）；
（3）若a＞1，試求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）是定義域為R的奇函數，可得f（0）=0，由此求得實數k的值．
（2）由a＞1，可得函數f（x）=a^x-a^-x=a^x-

1

ax

在R上是增函數．
（3）原不等式化為f（x²+2x）＞f（4-x），由函數的單調性可得x²+2x＞4-x，解此一元二次不等式，求得不等式的解集．

解答：解：（1）∵f（x）是定義域為R的奇函數，∴f（0）=0，∴k-1=0，∴k=1，經檢驗k=1符合題意．…..（3分）
（2）因為a＞1，所以函數f（x）=a^x-a^-x=a^x-

1

ax

在R上是增函數．  …..（6分）
（3）原不等式化為f（x²+2x）＞f（4-x），…..（7分）
因為在R上單調遞增，故有x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
解得x＞1或x＜-4，因此，不等式的解集為{x|x＞1或x＜-4}．…..（10分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性和單調性，一元二次不等式的解法，屬于基礎題．