Question

如圖，正四面體ABCD各棱長均為1，P，Q分別在棱AB，CD上，且

1

3

≤AP=CQ≤

2

3

，則直線PQ與直線BD所成角的正切值的取值范圍是

[

1

2

，2]

．

Answer 1

分析：作PE∥AC，連接EQ，由題意，EQ∥BD，PE⊥EQ，則∠PQE為直線PQ與直線BD所成角，再考慮兩個極端位置，即可求得結論．

解答：解：作PE∥AC，連接EQ，由題意，EQ∥BD，PE⊥EQ，則∠PQE為直線PQ與直線BD所成角
①AP=CQ=

1

3

時，PE=

2

3

AC，EQ=

1

3

AC，∴tan∠PQE=

PE

EQ

=2；
②AP=CQ=

2

3

時，PE=

1

3

AC，EQ=

2

3

AC，∴tan∠PQE=

PE

EQ

=

1

2

，
∴直線PQ與直線BD所成角的正切值的取值范圍是[

1

2

，2]
故答案為：[

1

2

，2]

點評：本題考查線線角，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．