Question

已知橢圓

x2

9

+

y2

5

=1，過左焦點作不垂直與X軸的弦交于橢圓于A．B兩點，AB的垂直平分線交X軸于M點，則|MF|：|AB|的值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．

  2

  3

• D．

  1

  4

Answer 1

分析：因為|MF|：|AB|的值為常數，因此采用特殊的直線AB的位置求|MF|：|AB|的值．不妨設直線AB的斜率為1，得直線AB的方程為y=x+2，與橢圓方程消去y得關于x的方程，利用根與系數的關系和弦長公式分別算出|MF|、|AB|的大小，從而得到直線AB的斜率為1時的|MF|：|AB|值，由此即可得到本題的答案．

解答：解：因為|MF|：|AB|的值為常數，與直線AB的方向無關，所以考慮取特殊位置求|MF|：|AB|的值．
取直線的斜率為1，左焦點為F（-2，0）
∴直線AB的方程為y=x+2，聯立方程組

x2 9 + y2 5 =1 y=x+2

消去y，整理得14x²+36x-9=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根與系數的關系，得x₁+x₂=-

18

7

，x₁x₂=-

9

14

，
代入直線方程，可得y₁+y₂=（x₁+2）+（x₂+2）=

10

7

，
∴AB中點坐標為（-

9

7

，

5

7

），則AB的中垂線方程為y-

5

7

=-（x+

9

7

），
令y=0，得x=-

4

7

，∴點N的坐標（-

4

7

，0）．
∴|NF|=

(- 4 7 +2)2

=

10

7

，|AB|=

2[(- 18 7 )2-4×(- 9 14 )]

=

30

7

因此，|MF|：|AB|的值為

10

7

：

30

7

=

1

3

故選：B

點評：本題給出橢圓焦點弦的垂直平分線，求垂直平分線與x軸交點與焦點距離跟弦長AB的比值，著重考查了橢圓的簡單幾何性質、直線與橢圓的位置關系等知識，屬于中檔題．