Question

已知函數f（x）=x²-tlnx的圖象在點（1，f（1））處的切線方程是y=kx+7．
（1）試確定函數f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=-x²+14x，且f（x）與g（x）在區間（a，a+2）上均為單調增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，得到切線的斜率，以及切點在函數f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出t的值從而得出函數f（x）的解析式；
（2）由題意：“f（x）與g（x）在區間（a，a+2）上均為單調增函數”知：在函數的區間（a，a+2）上不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0恒成立，利用恒成立得到關于a的不等關系確定a的取值范圍．

解答：解：（1）f（1）=1²-tln1=1，于是切線y=kx+7 過點（1，1），所以1=k+7∴k=-6 f/(x)=2x-

t

x

，∴k=f′（1）=2-t=-6∴t=8．所以f（x）=x²-8lnx
（2）∵f′(x)=

2(x+2)(x-2)

x

，且x＞0，∴x＞2 時，f′（x）＞0，當0＜x＜2 時，f′（x）＜0．即f（x） 在（2，+∞） 上單調遞增，在（0，2）上單調遞減，又g（x）=-（x-7）²+49 所以g（x） 在（-∞，7）單調遞 增，所以

a≥2 a+2≤7

，所以2≤a≤5

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的極值等基礎題知識．已知函數單調性，求參數范圍問題的常見解法；設函數f（x）在（a，b）上可導，若f（x）在（a，b）上是增函數，則可得f′（x）≥0，從而建立了關于待求參數的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是減函數，則可得f′（x）≤0．