Question

數列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若a_n=log₂b_n+3，求證數列{a_n}是等差數列；
（Ⅲ）若a₁+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₀，求m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知b₁，b₃是方程x²-5x+4=0的兩根，b_n+1＞b_n，故b₁=1，b₃=4．b₂=2．由此可知b_n=b₁q^n-1=2^n-1．
（Ⅱ）由題設知a_n=log₂b_n+3=log₂2^n-1+3=n-1+3=n+2，a_n+1-a_n=[（n+1）+2]-[n+2]=1，故數列{a_n}是首項為3，公差為1的等差數列．
（Ⅲ）由題設知a₁+a₂+a₃+…+a_m=m×3+

m(m-1)

2

×1=3m+

m2-m

2

≤a₄₀=42，故m²+5m-84≤0，由此可知m的最大值是7．

解答：解：（Ⅰ）由

b1b3=4 b1+b3=5

，知b₁，b₃是方程x²-5x+4=0的兩根，
注意到b_n+1＞b_n，得b₁=1，b₃=4．（2分）
∴b₂²=b₁b₃=4，?b₂=2．
∴b₁=1，b₂=2，b₃=4
∴等比數列．{b_n}的公比為

b2

b1

=2，
∴b_n=b₁q^n-1=2^n-1（4分）
（Ⅱ）a_n=log₂b_n+3=log₂2^n-1+3=n-1+3=n+2（5分）
∴a_n+1-a_n=[（n+1）+2]-[n+2]=1（7分）
∴數列{a_n}是首項為3，公差為1的等差數列．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知數列{a_n}是首項為3，公差為1的等差數列
∴a₁+a₂+a₃++a_m=m×3+

m(m-1)

2

×1=3m+

m2-m

2

（10分）
又a₄₀=42
由a₁+a₂+a₃++a_m≤a₄₀，得3m+

m2-m

2

≤42
整理得m²+5m-84≤0，解得-12≤m≤7．
∴m的最大值是7．（12分）

點評：本題考查數列的性質和應用，難度較大，解題時要注意公式的靈活運用，注意培養運算能力．