Question

某開發商用9000萬元在市區購買一塊土地建一幢寫字樓，規劃要求寫字樓每層建筑面積為2000平方米．已知該寫字樓第一層的建筑費用為每平方米4000元，從第二層開始，每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加100元．
（1）若該寫字樓共x層，總開發費用為y萬元，求函數y=f（x）的表達式；（總開發費用=總建筑費用+購地費用）
（2）要使整幢寫字樓每平方米開發費用最低，該寫字樓應建為多少層？

Answer 1

分析：（1）由已知，確定寫字樓從下到上各層的總建筑費用構成以800為首項，20 為公差的等差數列，從而可得函數表達式；
（2）由（1），求出寫字樓每平方米平均開發費用，利用基本不等式，即可求得每平方米平均開發最低費用．

解答：解：（1）由已知，寫字樓最下面一層的總建筑費用為：4000×2000=8000000（元）=800（萬元），
從第二層開始，每層的建筑總費用比其下面一層多：100×2000=200000（元）=20（萬元），
寫字樓從下到上各層的總建筑費用構成以800為首項，20 為公差的等差數列（2分）
所以函數表達式為：y=f(x)=800x+

x(x-1)

2

×20+9000=10x2+790x+9000 (x∈N*)；…（6分）
（2）由（1）知寫字樓每平方米平均開發費用為：g(x)=

f(x)

2000x

×10000=

5(10x2+790x+9000)

x

…（10分）
=50(x+

900

x

+79)≥50×(2

900

+79)= 6950（元）…（12分）
當且僅當x=

900

x

，即x=30時等號成立．
答：該寫字樓建為30層時，每平方米平均開發費用最低． …（14分）

點評：本題考查等差數列模型的構建，考查基本不等式的運用，考查利用數學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．