Question

設函數f（x）=x³+ax，g（x）=2x²+b，已知它們的圖象在x=1處有相同的切線．
（Ⅰ）求函數f（x）和g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數F（x）=f（x）-m•g（x）在區間[]上是單調減函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求函數f（x）和g（x）的解析式利用在點x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，利用斜率相等列出等式．從而求出a，b．
（Ⅱ）由于F（x）=f（x）-mg（x）=x³+x-2mx²，求出其導數得F'（x）=3x²-4mx+1，原問題等價于3x²-4mx+1≤0在區間[]上恒成立，最后利用二次函數的圖象與性質解決即得．
解答：解：（I）f'（x）=3x²+a，g'（x）=4x
，
∴
∴f（x）=x³+x，g（x）=2x²

（Ⅱ）∵F（x）=f（x）-mg（x）=x³+x-2mx²
∴F'（x）=3x²-4mx+1若x∈[，3]時，F（x）是減函數，
則3x²-4mx+1≤0恒成立，
得
∴．
實數m的取值范圍．
點評：本小題主要考查函數解析式的求解及待定系數法、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．