Question

如圖所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中點．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD．

Answer 1

證明：（1）取AB的中點G，連接FG，可得FG∥AE，FG=

1

2

AE，
又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
∴CD∥AE，CD=

1

2

AE，
∴FG∥CD，FG=CD，
∵FG⊥平面ABC，
∴四邊形CDFG是矩形，DF∥CG，
CG?平面ABC，DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．

（2）Rt△ABE中，AE=2a，AB=2a，
F為BE中點，∴AF⊥BE，
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，
∴DF⊥AB，
又DF⊥FG，
∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，
∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD．